コマンドプロンプトで

C:\Documents and Settings\Administrator>ipconfig

Windows 2000 IP Configuration

Ethernet adapter ローカル エリア接続:

        Connection-specific DNS Suffix  . :
        IP Address. . . . . . . . . . . . : *.*.6.1
        Subnet Mask . . . . . . . . . . . : 255.255.255.0
        Default Gateway . . . . . . . . . : *.*.6.1

からIPアドレス「*.*.6.1」を取得し、
テキストボックスに表示させるにはどうしたらいいのでしょうか？

一番手っ取り早いのは、ipconfigを同期実行し、
出力をファイルにリダイレクトし、
それをVB側から読む方法です。

HDDを介さず出力を直接受けるにはpipeを使って
DOSの標準出力を取得することになります。

たしか、K.J.K.氏のところ
(趣味のVisual Basic = http://www.koalanet.ne.jp/~akiya/vbtaste/)
にサンプルがあったと思いますが、結構面倒です。

動作マシンのWSHのバージョンによってはWshShellを用いて
もうちょっと簡単にDOS標準出力を取得できます。