ListViewで、FullRowSelectをTrueに設定。
さらにCheckboxesをTrueにして、行頭にチェックボックスが表示されています。
チェックボックス以外のカラムをクリックすると選択状態になるのですが、
チェックボックスをクリックしても、その行が選択状態になりません。
行を選択状態にするための方法を教えてください。
よろしくお願いします。

ListViewコントロールのイベントプロシージャItemCheckに以下のコードを記述してみてはどうでしょうか。

If ListView1.ListItems(Item.Index).Selected = True Then
    ListView1.ListItems(Item.Index).Selected = False
Else
    ListView1.ListItems(Item.Index).Selected = True
End If

ItemCheckプロシージャでは、Itemにチェックボックスをクリックしたリストアイテムが返されるので、そのインデックスを取得し、選択状態かどうかによって処理を記述すればいいんじゃないでしょうか。
選択の自動解除を False に設定している場合は、リストアイテムを表示した時点で、1つめのリストアイテムにチェックを付ける処理が必要になります。
間違っていたらごめんなさい。

うまくできそうです。
ありがとうございました。