.FileNameプロパティで取得するファイル名はフルパスだけなんでしょうか？
ディレクトリ名(“C:”とか“D:”)とかを除いたパスを取得したいんですが・・・
何かいい方法はないでしょうか？
よろしくお願いします。

色々な方法があるかと思いますが、手っ取り早い方法として

Private Sub Command1_Click()
    Dim MyFileName As String
    MyFileName = "c:\MyFolder\MyFile.txt"
    Debug.Print Mid$(MyFileName, InStr(MyFileName, "\") + 1, Len(MyFileName) - InStr(MyFileName, "\") + 1)
    Debug.Print Mid$(MyFileName, InStrRev(MyFileName, "\") + 1, Len(MyFileName) - InStrRev(MyFileName, "\") + 1)
End Sub


VB6.0 ならこれでOKですが　VB5.0なら　ここの逆引きヘルプの
一番最後に見つかった位置を返す（ゆう(U)さん投稿分）の fInstrRev1関数を使って下さい。

質問される場合　OSの種類やVBのバージョンを記入して頂くと適切な回答が早く返ってくるかと思います。